超黄金比

数学では、大きい数を小さい数で割った商が等しい場合、2つの量は超黄金比になります。

ψ= 1 + 29 + 39323 + 29−393233 {\ displaystyle \ psi = {\ frac {1 + {\ sqrt {\ frac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2}}} + {\ sqrt {\ frac {29-3 {\ sqrt {93}}} {2}}}} {3}}}

方程式x3 = x2 + 1 {\ displaystyle x ^ {3} = x ^ {2} +1}に対する唯一の実際の解。また、双曲線余弦を使用して表すこともできます。

ψ=23cosh⁡（cosh−1⁡（292）3）+13 {\ displaystyle \ psi = {\ frac {2} {3}} \ cosh {\ left（{\ tfrac {\ cosh ^ {-1} \ left（{\ frac {29} {2}} \ right）} {3}} \ right）} + {\ frac {1} {3}}}

この数値の10進数の展開は1.465571231876768026656731…で始まり、比率は一般的にギリシャ文字ψ{\ displaystyle \ psi}（psi）で表されます。その逆数は

1ψ= 1 + 312723 + 1-312723 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ psi}} = {\ sqrt {\ frac {1 + {\ sqrt {\ frac {31} {27}}}} {2 }}} + {\ sqrt {\ frac {1-{\ sqrt {\ frac {31} {27}}}} {2}}}}

スーパーゴールデン比率は、4番目に小さいピソ数でもあります。

スーパーゴールデンシーケンス

ナラヤナの牛のシーケンスとしても知られるスーパーゴールデンシーケンスは、連続する用語間の比率がスーパーゴールデンの比率に近づくシーケンスです。最初の3つの用語はそれぞれ1つであり、その後の各用語は、前の用語とその2つ前の用語を追加して計算されます。最初の値は1、1、1、1、2、3、4、6、9、13、19、28、41、60、88、129、189、277、406、595…（OEIS A000930）です。

物性

超黄金比の特性の多くは、黄金比の特性に関連しています。たとえば、ナラヤナのシーケンスのn番目の項目は、1x1と1x3のタイルで1xnの長方形をタイル化する方法の数であり、フィボナッチシーケンスのn番目の項は、1xnをタイル化する方法の数です1×1および1×2タイルの長方形。 φ−1 = φ−1、ψ−1 = ψ−2 。フィボナッチのウサギの問題では、各ペアが2サイクル後に始まる各サイクルを繁殖させ、ナラヤナの牛の問題では、各ペアは3サイクル後に始まる各サイクルを繁殖させます。正方形が片側から削除された場合、残りの長方形を反対方向の2つのスーパーゴールデン長方形に分割できるというプロパティを持つスーパーゴールデン長方形があります。

別の例は、黄金比と超黄金比の両方がピソ数であるということです。超黄金比の代数共役は1+（1±i32）29 + 39323 +（1∓i32）29 + 393233、{\ displaystyle {\ dfrac {1+ \ left（{\ tfrac {1 \ pm i {\ sqrt { 3}}} {2}} \ right）{\ sqrt {\ tfrac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2}}} + \ left（{\ tfrac {1 \ mp i {\ sqrt { 3}}} {2}} \ right）{\ sqrt {\ tfrac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2}}}} {3}}、}、1ψ≈0.8260313{ \ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ psi}}} \ approx 0.8260313}、ψ3−ψ2−1 = 0 {\ displaystyle \ psi ^ {3}-\ psi ^ {の根の積として2} -1 = 0}は1です。

超黄金の長方形

スーパーゴールデン長方形は、辺の長さがスーパーゴールデン比にある長方形です。つまり、長辺の長さを短辺の長さで割った値が1 + 29 + 39323 + 29-393233 {\ displaystyle {\ frac { 1 + {\ sqrt {\ frac {29 + 3 {\ sqrt {93}}} {2}}} + {\ sqrt {\ frac {29-3 {\ sqrt {93}}} {2}}}} {3}}}、超黄金比ψ。長方形の短辺と同じ辺の長さの正方形が長方形の1辺から削除されると、結果の長方形はψ2：1の比率になります。この長方形は、ψ：1と1：ψの辺の長さの比、垂直方向の2つの超黄金比の長方形に分割でき、それらの面積はψ2：1の比率になります。さらに、2つの超金色の長方形を互いに分離する線が元の長方形の残りの部分を横切って延長され、元の長方形から削除された正方形の辺とともに、元の長方形を象限に分割する場合、次に、より大きなスーパーゴールデン長方形は反対の象限と同じ面積を持ち、その対角線の長さは元の長方形の短辺の長さを√ψで割ったものです、4番目の象限もスーパーゴールデンの長方形で、その対角線の長さは√ψ倍です元の長方形の短辺の長さ。