散発的なグループ

グループ理論では、 散発的なグループは、有限の単純なグループの分類に見られる26の例外的なグループの 1つです。

単純群は自明群およびG自体を除く任意の正規部分群を有していないグループGです。分類定理は、有限の単純なグループのリストは18の数え切れないほど無限のファミリーと、そのような体系的なパターンに従わない26の例外で構成されていると述べています。これらの26の例外は、散発的なグループです。それらは、散発的な単純グループ、または散発的な有限グループとしても知られています。厳密にはリー型のグループではないため、おっぱいグループは散発的なグループと見なされることがあります。その場合、散発的なグループの番号は27です。

モンスターグループは、散発的なグループの中で最大であり、6つを除くすべての散発的なグループをサブグループまたはサブ商として含みます。

散発的なグループの名前

5つの散発的なグループは1860年代にマシューによって発見され、残りの21は1965年から1975年の間に発見されました。これらのグループのいくつかは、建設前に存在すると予測されました。ほとんどのグループは、最初にその存在を予測した数学者にちなんで命名されています。完全なリストは次のとおりです。

• マチューグループM 11、 M 12、 M 22、 M 23、 M 24
• JankoグループJ 1、 J 2またはHJ 、 J 3またはHJM 、 J 4
• コンウェイグループCo1 、 Co2 、 Co3
• フィッシャーグループFi 22、 Fi 23、 Fi 24 'またはF 3+
• Higman–SimsグループHS
• マクラフリングループMcL
• 開催グループHeまたはF 7+またはF 7
• RudvalisグループRu
• 鈴木グループスーズまたはF 3−
• オナングループオン
• 原田-ノートングループHNまたはF 5+またはF 5
• ライオンズグループLy
• トンプソングループThまたはF 3 | 3またはF 3
• ベビーモンスターグループBまたはF 2+またはF 2
• フィッシャーグリースモンスターグループMまたはF 1

ティッツグループTは散発的なグループと見なされることもあります（ほとんどではありませんが、厳密にはリー型のグループです）。そのため、一部のソースでは、散発的なグループの数が26ではなく27になっています。爆乳グループは散発的でも嘘型でもありません。とにかく、それは整流子群2F4（22 n +1） 'の無限族の（ n = 0）-メンバー2F4（2）'であり、それらはすべて有限単純群です。 n > 0の場合、Lieタイプ2F4（22 n +1）のグループと一致します。しかし、 n = 0の場合、Titsグループと呼ばれる派生サブグループ2 F 4（2） 'は、Lieタイプのグループ2 F 4（2）にインデックス2を持ちます。

すべての散発的なグループの有限体上の行列表現が構築されています。

「散発的なグループ」という用語の最初の用法はバーンサイド（1911、p。504、note N）かもしれません。彼はマシューグループについてコメントしています。「これらの明らかに散発的な単純なグループは、おそらくまだ受け取っていないよりも綿密な調査を返すでしょう」

右の図は、Ronan（2006）に基づいています。散発的なグループの多数の非散発的な単純なサブ商を示していません。

会社

26の散発的なグループのうち、20はサブグループまたはサブグループの商（セクション）としてモンスターグループ内で見ることができます。

I.パリア

6つの例外はJ 1、 J 3、 J 4、 O'N 、 RuおよびLyです。これらの6つは時々パリアとして知られています。

II。幸せな家族

残りの20人は、ロバートグリースによってハッピーファミリーと呼ばれ、3世代に編成できます。

第一世代（5グループ）：マチューグループ

n = 11、12、22、23、および24のM nは、 n点の多重推移的置換グループです。これらはすべてM24のサブグループであり、24ポイントの順列グループです。

第二世代（7グループ）：Leechラティス

Leechラティスと呼ばれる24次元のラティスの自己同型群のすべての部分商：

• Co 1は、中心{±1}による自己同型群の商です。
• Co 2は、タイプ2（つまり、長さ2）ベクトルのスタビライザーです。
• Co 3はタイプ3（つまり、長さ√6）ベクトルの安定剤です。
• Suzは、複雑な構造を保持する自己同型のグループです（モジュロの中心）
• McLはタイプ2-2-3トライアングルのスタビライザーです
• HSはタイプ2-3-3トライアングルのスタビライザーです
• J 2は、四元数構造を保持する自己同型のグループです（その中心をモジュロ）。

第三世代（8グループ）：モンスターの他のサブグループ

モンスターグループMと密接に関連するサブグループで構成されます。

• BまたはF 2には、 Mの 2次の要素のセントラライザーである二重カバーがあります。
• Fi 24 'には、 Mの 3次の要素（共役クラス「3A」）のセントラライザーであるトリプルカバーがあります。
• Fi 23はFi 24 'のサブグループです
• Fi 22には、 Fi 23のサブグループである二重カバーがあります
• Th = F 3と次数3のグループの積は、 Mの次数3の要素（共役クラス "3C"）のセントラライザーです。
• HN = F 5と次数5のグループの積は、 Mの次数5の要素のセントラライザーです。
• He = F 7と次数7のグループの積は、 Mの次数7の要素の中央化子です。
• 最後に、モンスターグループ自体はこの世代に属すると見なされます。

（このシリーズはさらに続け：M 12の生成物およびオーダー11のグループはMで注文11の要素のセントラです。）

乳グループはまた、この世代に属する：亜群S4×2F4（2）が存在する'Bの2C2サブグループを正規化は、サブグループ2を生じさせる・S4×2F4（2）'モンスターの特定Q8サブグループを正規化します。 2F4（2） 'は、FischerグループFi 22、 Fi 23およびFi 24'、およびBaby Monster Bのサブグループでもあります。 2F4（2） 'は（pariah）RudvalisグループRuのサブグループでもあり、すでに言及した封じ込めを除き、散発的な単純グループには関与していません。

散発的なグループ注文の表

グループ	世代	注文（OEISのシーケンスA001228）	1SF	分解された順序	標準ジェネレータートリプル（a、b、ab）	さらなる条件
F 1またはM	三番	8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000	≈8×1053	246・320・59・76・112・133・17・19・23・29・31・41・47・59・71	2A、3B、29	無し
F 2またはB	三番	4154781481226426191177580544000000	≈4×1033	241・313・56・72・11・13・17・19・23・31・47	2C、3A、55	o（（ab）2（abab2）2ab2）= 23 {\ displaystyle o（（ab）^ {2}（abab ^ {2}）^ {2} ab ^ {2}）= 23}
Fi 24 'またはF 3+	三番	1255205709190661721292800	≈1×1024	221・316・52・73・11・13・17・23・29	2A、3E、29	o（（ab）3b）= 33 {\ displaystyle o（（ab）^ {3} b）= 33}
Fi 23	三番	4089470473293004800	≈4×1018	218・313・52・7・11・13・17・23	2B、3D、28	無し
Fi 22	三番	64561751654400	≈6×1013	217・39・52・7・11・13	2A、13、11	o（（ab）2（abab2）2ab2）= 12 {\ displaystyle o（（ab）^ {2}（abab ^ {2}）^ {2} ab ^ {2}）= 12}
F 3またはTh	三番	90745943887872000	≈9×1016	215・310・53・72・13・19・31	2、3A、19	無し
リー	不可触民	51765179004000000	≈5×1016	28・37・56・7・11・31・37・67	2、5A、14	o（ababab2）= 67 {\ displaystyle o（ababab ^ {2}）= 67}
F 5またはHN	三番	273030912000000	≈3×1014	214・36・56・7・11・19	2A、3B、22	o（）= 5 {\ displaystyle o（）= 5}
Co 1	第二	4157776806543360000	≈4×1018	221・39・54・72・11・13・23	2B、3C、40	無し
Co 2	第二	42305421312000	≈4×1013	218・36・53・7・11・23	2A、5A、28	無し
Co 3	第二	495766656000	≈5×1011	210・37・53・7・11・23	2A、7C、17	無し
オン	不可触民	460815505920	≈5×1011	29・34・5・73・11・19・31	2A、4A、11	無し
スーズ	第二	448345497600	≈4×1011	213・37・52・7・11・13	2B、3B、13	o（）= 15 {\ displaystyle o（）= 15}
る	不可触民	145926144000	≈1×1011	214・33・53・7・13・29	2B、4A、13	無し
F 7または彼	三番	4030387200	≈4×109	210・33・52・73・17	2A、7C、17	無し
McL	第二	898128000	≈9×108	27・36・53・7・11	2A、5A、11	o（（ab）2（abab2）2ab2）= 7 {\ displaystyle o（（ab）^ {2}（abab ^ {2}）^ {2} ab ^ {2}）= 7}
HS	第二	44352000	≈4×107	29・32・53・7・11	2A、5A、11	無し
J 4	不可触民	86775571046077562880	≈9×1019	221・33・5・7・113・23・29・31・37・43	2A、4A、37	o（abab2）= 10 {\ displaystyle o（abab ^ {2}）= 10}
J 3またはHJM	不可触民	50232960	≈5×107	27・35・5・17・19	2A、3A、19	o（）= 9 {\ displaystyle o（）= 9}
J 2またはHJ	第二	604800	≈6×105	27・33・52・7	2B、3B、7	o（）= 12 {\ displaystyle o（）= 12}
J 1	不可触民	175560	≈2×105	23・3・5・7・11・19	2、3、7	o（abab2）= 19 {\ displaystyle o（abab ^ {2}）= 19}
M 24	最初	244823040	≈2×108	210・33・5・7・11・23	2B、3A、23	o（ab（abab2）2ab2）= 4 {\ displaystyle o（ab（abab ^ {2}）^ {2} ab ^ {2}）= 4}
M 23	最初	10200960	≈1×107	27・32・5・7・11・23	2、4、23	o（（ab）2（abab2）2ab2）= 8 {\ displaystyle o（（ab）^ {2}（abab ^ {2}）^ {2} ab ^ {2}）= 8}
M 22	最初	443520	≈4×105	27・32・5・7・11	2A、4A、11	o（abab2）= 11 {\ displaystyle o（abab ^ {2}）= 11}
M 12	最初	95040	≈1×105	26・33・5・11	2B、3B、11	無し
M 11	最初	7920	≈8×103	24・32・5・11	2、4、11	o（（ab）2（abab2）2ab2）= 4 {\ displaystyle o（（ab）^ {2}（abab ^ {2}）^ {2} ab ^ {2}）= 4}