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カイ分布

確率理論と統計では、 カイ分布は連続的な確率分布です。これは、それぞれが標準正規分布に従う独立したランダム変数のセットの平方和の正の平方根の分布、または同等に、原点からのランダム変数のユークリッド距離の分布です。したがって、カイ二乗分布に従う変数の正の平方根の分布を記述することにより、カイ二乗分布に関連付けられます。

最もよく知られている例は、レイリー分布（2自由度のカイ分布）および理想気体の分子速度のマクスウェル–ボルツマン分布（3自由度のカイ分布）です。

Zi {\ displaystyle Z_ {i}}がk独立で、平均が0、標準偏差が1の正規分布確率変数の場合、統計

Y = ∑i = 1kZi2 {\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} Z_ {i} ^ {2}}}}

カイ分布に従って分布します。したがって、カイ分布の平均（ n − 1の平方根でスケーリング）で割ると、正規分布の標準偏差の不偏推定の補正係数が得られます。カイ分布には1つのパラメーターがあります。k{\ displaystyle k}は、自由度の数（Xi {\ displaystyle X_ {i}}の数）を指定します。

特徴づけ

確率密度関数

カイ分布の確率密度関数（pdf）は

f（x; k）= {xk−1e−x2 / 22k / 2−1Γ（k2）、x≥0; 0、それ以外の場合。{\ displaystyle f（x; k）= {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {k-1} e ^ {-x ^ {2} / 2}} {2 ^ {k / 2-1} \ Gamma \ left（{\ frac {k} {2}} \ right）} }、＆x \ geq 0; \\ 0、＆{\ text {otherwise}}。\ end {cases}}}

ここで、Γ（z）{\ displaystyle \ Gamma（z）}はガンマ関数です。

累積分布関数

累積分布関数は次のように与えられます：

F（x; k）= P（k / 2、x2 / 2）{\ displaystyle F（x; k）= P（k / 2、x ^ {2} / 2）\、}

ここで、P（k、x）{\ displaystyle P（k、x）}は正規化されたガンマ関数です。

関数を生成する

モーメント生成関数は次のように与えられます：

M（t）= M（k2,12、t22）+t2Γ（（k + 1）/ 2）Γ（k / 2）M（k + 12,32、t22）、{\ displaystyle M（t）= M \ left（{\ frac {k} {2}}、{\ frac {1} {2}}、{\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right）+ t {\ sqrt {2} } \、{\ frac {\ Gamma（（k + 1）/ 2）} {\ Gamma（k / 2）}} M \ left（{\ frac {k + 1} {2}}、{\ frac { 3} {2}}、{\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right）、}

ここで、M（a、b、z）{\ displaystyle M（a、b、z）}は、クンマーのコンフルエントな超幾何関数です。特性関数は次のとおりです。

φ（t; k）= M（k2,12、−t22）+it2Γ（（k + 1）/ 2）Γ（k / 2）M（k + 12,32、−t22）。{\ displaystyle \ varphi （t; k）= M \ left（{\ frac {k} {2}}、{\ frac {1} {2}}、{\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ right） + it {\ sqrt {2}} \、{\ frac {\ Gamma（（k + 1）/ 2）} {\ Gamma（k / 2）}} M \ left（{\ frac {k + 1} { 2}}、{\ frac {3} {2}}、{\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ right）。}

物性

モーメント

生のモーメントは次のように与えられます：

μj= 2j /2Γ（（k + j）/ 2）Γ（k / 2）{\ displaystyle \ mu _ {j} = 2 ^ {j / 2} {\ frac {\ Gamma（（k + j）/ 2）} {\ Gamma（k / 2）}}}

ここで、Γ（z）{\ displaystyle \ Gamma（z）}はガンマ関数です。最初のいくつかの生の瞬間は次のとおりです。

μ1=2Γ（（k + 1）/ 2）Γ（k / 2）{\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {2}} \、\、{\ frac {\ Gamma（（k \！ + \！1）/ 2）} {\ Gamma（k / 2）}}}μ2= k {\ displaystyle \ mu _ {2} = k \、}μ3=22Γ（（k + 3）/ 2）Γ （k / 2）=（k + 1）μ1{\ displaystyle \ mu _ {3} = 2 {\ sqrt {2}} \、\、{\ frac {\ Gamma（（k \！+ \！3） / 2）} {\ Gamma（k / 2）}} =（k + 1）\ mu _ {1}}μ4=（k）（k + 2）{\ displaystyle \ mu _ {4} =（k） （k + 2）\、}μ5=42Γ（（k + 5）/ 2）Γ（k / 2）=（k + 1）（k + 3）μ1{\ displaystyle \ mu _ {5} = 4 { \ sqrt {2}} \、\、{\ frac {\ Gamma（（k \！+ \！5）/ 2）} {\ Gamma（k / 2）}} =（k + 1）（k + 3 ）\ mu _ {1}}μ6=（k）（k + 2）（k + 4）{\ displaystyle \ mu _ {6} =（k）（k + 2）（k + 4）\、}

ここで、右端の式は、ガンマ関数の再帰関係を使用して導出されます。

Γ（x + 1）=xΓ（x）{\ displaystyle \ Gamma（x + 1）= x \ Gamma（x）\、}

これらの式から、次の関係を導き出すことができます。

平均：μ=2Γ（（k + 1）/ 2）Γ（k / 2）{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \、\、{\ frac {\ Gamma（（k + 1）/ 2）} {\ Gamma（k / 2）}}}

分散：σ2= k−μ2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \、}

歪度：γ1=μσ3（1−2σ2）{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \、（1-2 \ sigma ^ {2}）}

尖度過剰：γ2=2σ2（1−μσγ1−σ2）{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}}（1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1 }-\ sigma ^ {2}）}

エントロピー

エントロピーは以下によって与えられます：

S =ln⁡（Γ（k / 2））+ 12（k−ln⁡（2）−（k−1）ψ0（k / 2））{\ displaystyle S = \ ln（\ Gamma（k / 2） ）+ {\ frac {1} {2}}（k \！-\！\ ln（2）\！-\！（k \！-\！1）\ psi ^ {0}（k / 2）） }

ここで、ψ0（z）{\ displaystyle \ psi ^ {0}（z）}はポリガンマ関数です。

関連するディストリビューション

  • X∼χk（x）{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}（x）}の場合、X2∼χk2 {\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}（chi -二乗分布）
  • limk→∞χk（x）−μkσk→d N（0,1）{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tfrac {\ chi _ {k}（x）-\ mu _ {k} } {\ sigma _ {k}}} {\ xrightarrow {d}} \ N（0,1）\、}（正規分布）
  • X∼N（0,1）{\ displaystyle X \ sim N（0,1）\、}の場合、| X | ∼χ1（x）{\ displaystyle | X | \ sim \ chi _ {1}（x） \、}
  • X∼χ1（x）{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {1}（x）\、}の場合、σX∼HN（σ）{\ displaystyle \ sigma X \ sim HN（\ sigma）\、}（half -正規分布）σ> 0 {\ displaystyle \ sigma> 0 \、}の場合
  • χ2（x）∼Rayleigh（1）{\ displaystyle \ chi _ {2}（x）\ sim \ mathrm {Rayleigh}（1）\、}（レイリー分布）
  • χ3（x）∼Maxwell（1）{\ displaystyle \ chi _ {3}（x）\ sim \ mathrm {Maxwell}（1）\、}（Maxwell分布）
  • ‖Ni= 1、…、k（0,1）‖2∼χk（x）{\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {N}} _ {i = 1、\ ldots、k} {（0,1）} \ | _ {2} \ sim \ chi _ {k}（x）}（k {\ displaystyle k}標準正規分布変数の2ノルムは、k {\ displaystyle k}自由度のカイ分布です）
  • カイ分布は、一般化ガンマ分布、中上分布、または非心カイ分布の特殊なケースです。
さまざまなカイおよびカイ二乗分布名前統計カイ二乗分布∑i = 1k（Xi−μiσi）2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left（{\ frac {X_ {i}- \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right）^ {2}}非心カイ二乗分布∑i = 1k（Xiσi）2 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ { k} \ left（{\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right）^ {2}}カイ分布∑i = 1k（Xi−μiσi）2 {\ displaystyle {\ sqrt { \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left（{\ frac {X_ {i}-\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right）^ {2}}}}非心カイ分布∑i = 1k（Xiσi）2 {\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left（{\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}} } \ right）^ {2}}}}
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